% ========================================
% QUESTION 4: Waves & Sound - EXPANDED FULL VERSION
% ========================================

\section{પ્રશ્ન 4}

\subsection{પ્રશ્ન 4(a) [૦૩ ગુણ]}
\textbf{વ્યાખ્યા લખો (i) આવર્તન કાળ (ii) તરંગ લંબાઈ (iii) આવૃત્તિ}

\subsubsection{ઉકેલ}

તરંગ ગતિ તેની વર્તણૂકનું વર્ણન કરતા અનેક મૂળભૂત પરિમાપો દ્વારા લાક્ષણિક થાય છે. આ ત્રણ મુખ્ય રાશિઓ—આવર્તન કાળ, તરંગ લંબાઈ અને આવૃત્તિ—સમજવી કોઈપણ તરંગ ઘટના, ચાહે યાંત્રિક તરંગો જેવા કે ધ્વનિ અને પાણીના તરંગો, અથવા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો જેવા કે પ્રકાશ અને રેડિયો તરંગોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે આવશ્યક છે. આ પરિમાપો મૂળભૂત તરંગ સંબંધો દ્વારા પરસ્પર જોડાયેલા છે અને ભૌતિકશાસ્ત્ર, ઇજનેરી અને દૂરસંચારમાં વ્યાપકપણે વપરાય છે.

\begin{description}
    \item[(i) Period (T):] આવર્તન કાળ એ અવકાશમાં નિશ્ચિત બિંદુએ એક સંપૂર્ણ કંપન અથવા એક સંપૂર્ણ તરંગ ચક્ર માટે જરૂરી સમય અવધિ છે. તે દર્શાવે છે કે તરંગ પેટર્ન પોતાને પુનરાવર્તન કરવા કેટલો સમય લે છે. આવર્તન કાળ સેકંડ (s) માં માપવામાં આવે છે. ગાણિતિક રીતે, આવર્તન કાળ એ આવૃત્તિનો વ્યસ્ત છે: \(T = \frac{1}{f}\). ઉદાહરણ માટે, જો તરંગ પ્રતિ સેકંડ 5 વખત કંપન કરે, તો તેનો આવર્તન કાળ 0.2 સેકંડ છે. ધ્વનિ તરંગોમાં, આવર્તન કાળ ધ્વનિની ઊંચાઈ નક્કી કરે છે—ટૂંકા આવર્તન કાળ ઊંચી આવૃત્તિના નોંધો સાથે સંબંધિત છે.
    
    \item[(ii) Wavelength (\(\lambda\)):] તરંગ લંબા��� એ તરંગ પર કંપનના સમાન તબક્કામાં હોય તેવા બે અનુક્રમિક અનુરૂપ બિંદુઓ વચ્ચેનું અવકાશી અંતર છે. સામાન્ય માપન બિંદુઓમાં શિખર-થી-શિખર અંતર (સંગત તરંગો માટે) અથવા સંકોચન-થી-સંકોચન અંતર (લંબગત તરંગો માટે) સામેલ છે. તરંગ લંબાઈ મીટર (m) માં માપવામાં આવે છે, જોકે સ્કેલના આધારે કિલોમીટર, સેન્ટિમીટર અથવા નેનોમીટર વાપરી શકાય. તરંગ લંબાઈ વિવર્તન વર્તન અને વ્યતિકરણ પેટર્ન સહિત અનેક તરંગ ગુણધર્મો નક્કી કરે છે. વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો માટે, તરંગ લંબાઈ વર્ગીકરણ નક્કી કરે છે (રેડિયો, માઇક્રોવેવ, ઇન્ફ્રારેડ, દૃશ્ય, અતિબેંગની, એક્સ-રે, ગામા રે).
    
    \item[(iii) Frequency (f):] આવૃત્તિ નિશ્ચિત સ્થાને એકમ સમય દીઠ થતા સંપૂર્ણ કંપનો અથવા ત��ંગ ચક્રોની સંખ્યામાપે છે. આ હર્ટ્ઝ (Hz) માં માપવામાં આવે છે, જ્યાં 1 Hz એ પ્રતિ સેકંડ એક ચક્ર બરાબર છે. આવૃત્તિ તરંગો દ્વારા વહન કરવામાં આવતી ઊર્જા નક્કી કરે છે—ઊંચી આવૃત્તિ એટલે ઊંચી ઊર્જા. તે આવર્તન કાળનો વ્યસ્ત છે: \(f = \frac{1}{T}\). ધ્વનિમાં, આવૃત્તિ ઊંચાઈ નક્કી કરે છે (ઊંચી આવૃત્તિ = ઊંચી ઊંચાઈ). પ્રકાશમાં, આવૃત્તિ રંગ નક્કી કરે છે. માનવ સાંભળવાની શ્રેણી આશરે 20 Hz થી 20 kHz છે, જ્યારે રેડિયો આવૃત્તિઓ kHz થી GHz સુધી હોય છે.
\end{description}

\paragraph{આંતરસંબંધ:}
આ રાશિઓ મૂળભૂત તરંગ સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે: \(v = f \lambda\), જ્યાં \(v\) એ તરંગ વેગ છે. આ બતાવે છે કે વેગ આવૃત્તિ ગુણો તરંગ લંબાઈ બરાબર છે.

\paragraph{મેમરી ટ્રીક:}
\emph{``Periodic-Time, Lambda-Length, Frequency-per-second (T·f = 1)''}

\subsection{પ્રશ્ન 4(b) [૦૪ ગુણ]}
\textbf{સંગત તરંગો અને લંબગત તરંગો વચ્ચે કોઈપણ ચાર મુદ્દા તફાવત લખો.}

\subsubsection{ઉકેલ}

યાંત્રિક તરંગો કણ કંપન દિશા અને તરંગ પ્રસારણ દિશા વચ્ચેના સંબંધના આધારે બે મૂળભૂત કેટેગરીમાં વર્ગીકૃત થાય છે: લંબગત તરંગો અને સંગત તરંગો. આ વર્ગીકરણ વિવિધ માધ્યમોમાં તરંગ પ્રસારણ સમજવા, ભૂકંપીય તરંગો (P-તરંગો અને S-તરંગો) નું વિશ્લેષણ કરવા, ધ્વનિક તંત્રો ડિઝાઇન કરવા અને વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ ધ્રુવીકરણ સમજવા માટે મહત્વપૂર્ણ છે. નીચેની વ્યાપક તુલના આ બે તરંગ પ્રકારો વચ્ચેના મુખ્ય તફાવતો પ્રકાશિત કરે છે.

\paragraph{વ્યાપક તુલના કોષ્ટક:}
\begin{table}[H]
\centering
\caption{લંબગત વિ સંગત તરંગો - વિગતવાર તુલના}
\begin{tabularx}{\textwidth}{lXX}
\toprule
\textbf{પાસું} & \textbf{લંબગત તરંગો} & \textbf{સંગત તરંગો} \\
\midrule
Particle Vibration Direction & કણો તરંગ પ્રસારણની દિશાની સમાંતર કંપન કરે છે & કણો તરંગ પ્રસારણની દિશાના લંબરૂપ કંપન કરે છે \\
Propagation Media & ઘન, પ્રવાહી અને વાયુઓ દ્વારા મુસાફરી કરી શકે છે & ઘન અને પ્રવાહી સપાટીઓ પર મુસાફરી કરી શકે છે, પરંતુ પ્રવાહીઓ અથવા વાયુઓના જથ્થા દ્વારા નહીં \\
Wave Structure & સંકોચન (ઉચ્ચ દબાણ વિસ્તારો) અને વિસ્તરણ (નીચા દબાણ વિસ્���ારો) નો સમાવેશ થાય છે & શિખરો (એક દિશામાં મહત્તમ વિસ્થાપન) અને ખીણો (વિરુદ્ધ દિશામાં મહત્તમ વિસ્થાપન) નો સમાવેશ થાય છે \\
Common Examples & હવા અને પાણીમાં ધ્વનિ તરંગો, અલ્ટ્રાસાઉન્ડ, ભૂકંપીય P-તરંગો, સ્પ્રિંગમાં સંકોચન તરંગો & પ્રકાશ તરંગો, વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણ, પાણીની સપાટીના તરંગો, ભૂકંપીય S-તરંગો, તાર પરના તરંગો \\
Polarization & ધ્રુવીકરણ કરી શકાતું નથી (લંબરૂપ કંપન ઘટક નથી) & કંપનોની સંગત પ્રકૃતિને કારણે ધ્રુવીકરણ કરી શકાય છે \\
Speed in Medium & આપેલ ઘન માધ્યમમાં સામાન્ય રીતે ઝડપી & સમાન ઘન માધ્યમમાં સામાન્ય રીતે ધીમા \\
\bottomrule
\end{tabularx}
\end{table}

\paragraph{વધારાના વિશિષ્ટ લક્ષણો:}
\begin{itemize}
    \item લંબગત તરંગોને પ્રસારણ દિશામાં માધ્યમ સ્થિતિસ્થાપકતા જરૂરી છે; સંગત તરંગોને કાપ મોડ્યુલસ જરૂરી છે
    \item તારો પર સંગત તરંગો તાણ પર આધાર રાખે છે; લંબગત ધ્વનિ તરંગો જથ્થા મોડ્યુલસ પર આધાર રાખે છે
    \item વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો (પ્રકાશ) સંગત છે પરંતુ માધ્યમ જરૂરી નથી (વિશેષ કેસ)
    \item ભૂકંપશાસ્ત્રીઓ P-તરંગો (લંબગત) અને S-તરંગો (સંગત) ના વિવિધ આગમન સમયનો ઉપયોગ ભૂકંપ કેન્દ્રો શોધવા માટે કરે છે
\end{itemize}

\paragraph{મેમરી ટ્રીક:}
\emph{``લંબગત: સમાંતર દબાણ-ખેંચાણ, સંગત: લંબરૂપ ઉપર-નીચે''}

\subsection{પ્રશ્ન 4(c) [7 marks]}
\textbf{(i) Explain Laplace's Correction for the velocity of sound in air.}

\textbf{(ii) Obtain relation between velocity, wavelength and frequency of a sound wave in air. Calculate velocity of a sound wave having frequency 20 KHz and wavelength of 0.017 m.}

\subsubsection{Solution}

\paragraph{(i) Laplace's Correction for Velocity of Sound:}

The theoretical determination of sound velocity in gases has an interesting historical development. Newton initially calculated the velocity of sound assuming isothermal conditions, but this yielded results significantly lower than experimental observations. Laplace later corrected Newton's formula by recognizing that sound propagation involves rapid compressions and rarefactions occurring adiabatically rather than isothermally.

\textbf{Newton's Isothermal Assumption:}

Newton derived the velocity of sound assuming the compressions and rarefactions occur slowly enough for heat exchange with surroundings, maintaining constant temperature (isothermal process). For isothermal conditions:

\[v_{Newton} = \sqrt{\frac{P}{\rho}}\]

where \(P\) is atmospheric pressure and \(\rho\) is density of air.

For air at NTP: \(P = 1.01 \times 10^5\,Pa\), \(\rho = 1.29\,kg/m^3\)

\[v_{Newton} = \sqrt{\frac{1.01 \times 10^5}{1.29}} \approx 280\,m/s\]

However, experimental velocity at 0 C is approximately 332 m/s, showing significant discrepancy.

\textbf{Laplace's Adiabatic Correction:}

Laplace correctly reasoned that sound wave compressions and rarefactions occur so rapidly (thousands of times per second) that there is insufficient time for heat exchange with surroundings. Therefore, the process is adiabatic (no heat transfer), not isothermal. For adiabatic process in gases:

\[v_{Laplace} = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}\]

where \(\gamma\) is the ratio of specific heats \(C_p/C_v\). For diatomic gases like air (mainly N\(_2\) and O\(_2\)), \(\gamma \approx 1.4\).

\textbf{Corrected Calculation:}
\[v_{Laplace} = \sqrt{\frac{1.4 \times 1.01 \times 10^5}{1.29}} \approx \sqrt{1.09 \times 10^5} \approx 331\,m/s\]

This matches experimental results remarkably well (331-332 m/s at 0 C).

\textbf{Physical Explanation:}

In adiabatic compression, temperature increases locally, increasing pressure more than in isothermal compression. This additional pressure increase creates stronger restoring forces, propagating disturbances faster. Conversely, in adiabatic rarefaction, temperature drops, reducing pressure more than isothermal case. This enhanced pressure variation drives faster wave propagation.

\textbf{Significance:} Laplace's correction demonstrated the importance of thermodynamic process considerations in wave mechanics and validated the adiabatic nature of rapid sound propagation.

\paragraph{(ii) Velocity-Wavelength-Frequency Relationship and Calculation:}

\textbf{Derivation of Fundamental Wave Equation:}

Consider a sinusoidal wave traveling through air. In time period \(T\) (one complete oscillation), the wave advances by one wavelength \(\lambda\). Therefore, velocity of wave propagation is: